带你正确理解 Hurst 基准和分数布朗运动

它们在时数间段跨度 T 内的发生变化区域内并不是和 T 的 1/2 大数并成仍要比，而是和比 1/2 来得高的大数并成仍要比，这表明时数间段碱基的个数相互数间不是实质上的，而是相互制约，即时数间段碱基的自相数间的关分量不为 0。我们却说这样的时数间段碱基是有短序文忆的。根据 Beran (1994)，一个有着短序文忆性的下都时数间段碱基（比如下游水位的发生变化或者投资额品无效用）表述如下：

短序文忆性是和短期关联性（short-term dependency）相对来却说应的。一个有着短期关联性的时数间段碱基它的自相数间的关分量随着数间隔（lag）的增大便发散为 0 或者按Index发散；而对于有着短序文忆性的时数间段碱基，它的自相数间的关分量发散的来得更慢。这个表述却说明所指出，如果一个下都时数间段碱基的自相关数组 ρ(k) 的发散速度服从幂律发散（即比Index发散更慢），那么这个时数间段碱基就不具短序文忆性。序文忆性揭示在自相关数组的非实质上性上，而“短”揭示在发散的更慢。

Hurst Index H 就用来生动这种短序文忆性；它被用来计算一个时数间段碱基的震荡区域内如何随时数间段跨度发生变化，即：

其当中，n 是时数间段碱基经纬度的个数，亦然时数间段跨度微小；R(n) 是这 n 个经纬度的发生变化区域内；S(n) 是这些点的平均数。用作 S(n) 对 R(n) 同步进唯通用，给予 R(n)/S(n)，它是以平均数重新尺度过的区域内，专所指重标很差（rescaled range）；A 是计算；H 就是Hurst Index。

H 的个数区域内在 0 和 1 相互数间（不包括 0 和 1）。当 H = 1/2 时，该时数间段碱基不必关联性。当 H> 1/2 时，该时数间段碱基有短序文忆性；当 H < 1/2 时，该时数间段碱基表现出反持续性，因此它表现出比纯随机来得强的震荡。

虽然有了 Hurst Index，但我们一直不必分析作依此这类时数间段碱基的模型。点数庞加莱应运而生。

3 点数庞加莱 点数庞加莱 FBM（又专所指三维庞加莱）脱胎于标准规范庞加莱。FBM 是一个表述在类比上的连续随机操作过程 B_H(t)，它做到：

对于任何 t 和 Δt> 0，B_H(t+Δt) – B_H(t) 的借此为 0，即 FBM 的持续性的借此为 0。 对于各不相近关键时刻 t 和 s，它们的协绝对值数组为：

其当中 H 就是描画这个 FBM 持续性数间数间的关系的 Hurst Index。FBM 的两大政治性是其持续性的下都性、自相似之处和自关联性（H = 0.5 除外；当 H = 0.5 时，FBM 发生变化为标准规范庞加莱）。

首先来看自相似之处（self-affinity property）。它所指的是对于两个并成比例的时数间段跨度，序文为 τ 和 kτ（k 是比例可视分量），FBM 在这两段时数间段跨度上的持续性依照 k1]H 的可视比例做到人口统计上的同栖息于，即：

如果我们用作 FBM 来描画投资额品（近似）生产并成本，则这个政治性却说明所指出不论我们看 5 分钟线或、30 分钟线或、日线或、或者周线或，投资额品生产并成本在各不相近时数间段尺度上的发生变化（即各不相近振幅上的无效用）按照 Hurst Index生动的可视比例 k1]H 展现出人口统计上的同栖息于。即如果我们把投资额品生产并成本的 5 分钟无效用按照 61]H 比例扫描后和 30 分钟无效用比较，我们是未区分它们的，因为他们在人口统计上做到相近的栖息于。

再来看持续性的自关联性（这是被国外分析投资额界过度误解用作的政治性）有着如下政治性：

如果 H> 0.5，则 FBM 的持续性相互数间仍要相关； 如果 H < 0.5，则 FBM 的持续性相互数间倒数第相关。 Mandelbrot and Van Ness (1968) 对持续性相互数间的关联性同步进唯了定量的测算。令其 [-t/2 – t2, -t/2] 和 [t/2, t/2 + t1] 亦然两个不重合的时数间段跨度（因此这两个跨度的短度分别为 t1 和 t2），则 FBM 在这两个跨度上的持续性相互数间的相数间的关分量为（序文为 C(t,t1,t2)）：

可以断言，无论 t，t1 以及 t2 的个数，当 H> 0.5 时，该相数间的关分量都远大于 0；当 H < 0.5 时，该相数间的关分量都也就是说 0。

我们在上式的基础上做一些有用的推导。令其 t1 = t2，即我们选择 FBM 在两个相近跨度上持续性的自关联性。另外，令其 t = s × t1，s = 0，1，2，…，即这两段持续性相互数间的数间隔是它们跨度的 s 倍。如此处置后再测算这两段持续性的关联性，确实上是在测算许多现代 FBM 按照 1/t1 振幅同步进唯一阶传递数组后的碱基的自关联性，其数间隔就是 s。

经过非常简单的代数运算很来得易给予：

可见，这个 FBM 一阶传递数组碱基的自关联性仅和数间隔 s（以及 Hurst Index H）有关，而与测算自关联性的时数间段点无关。这就断言了 FBM 持续性的下都性。尤其的，如果我们先取 s = 0，则我们关注的是两个相邻的 t1 短度内 FBM 持续性的自关联性，它也就是说：

无论 s 是否为 0，以上两式均与时数间段跨度的个数无关。这是比较重要的一个政治性，却说明所指出 FBM 持续性的自关联性和化简持续性的时数间段跨度 t1（或传递数组 FBM 的振幅）无关，仅由 s 和 H 生动。因此 Hurst Index描画的是 FBM 持续性的自关联性在各不相近振幅上的主导性。在下一节详述重标很差依此测算 Hurst Index时，我们亦会进一步解释这一点。

4 重标很差依此 Hurst Index生动的是各不相近振幅下 FBM 持续性的震荡和振幅的数间的关系。震荡的意思是 FBM 在各不相近振幅下的持续性的栖息于宽度。生动这个宽度可以用作重标很差或者别的所指标，比如平均数。这就构并成了测算 Hurst Index的各不相近作依此。

当用作重标很差来描画震荡的栖息于宽度时，该作依此再专所指重标很传递数组析作依此（rescaled range analysis，序文为 R/S 分析作依此），这是由 Hurst 申请专利（Hurst 1951），也是出版界最普遍的一种作依此。在国外很多投资额深入近期当中测算 Hurst Index时，采用的仍要是这种作依此。

认知这个作依此对几乎搞懂 Hurst Index和 FBM 至关重要。比如，FBM 深入研究的是投资额品生产并成本碱基，但是为什么我们却却说无效用的 Hurst Index，而不却说生产并成本碱基的 Hurst Index？又比如，我们可以用作日无效用测算 Hurst Index，也可以用作周无效用测算 Hurst Index，它们相互数间没错有什么差异和建立联系？以讲出这些关键问题为目标，本节参见 Peters (1994) 的必需详述如何用作重标很差依此测算 Hurst Index。

首先必须却说明的是，在金融业零售商投资额教育领域，FBM 是用来对投资额品的近似生产并成本数学模型的，因此 FBM 的持续性就是投资额品的近似无效用。用作近似生产并成本的目的是将生产并成本通用，使时数间段碱基在各不相近绝对生产并成本下的震荡有着可比性。举个例子，如果各不相近步进唯通用，那么看来 100 点的震荡对于 3000 点和 6000 点的上证Index是不一样的，是不可比的。

根据 FBM 的政治性，其持续性做到下都性。因此，投资额品的近似无效用做到下都性。而短序文忆性，即 Hurst Index，是生动下都时数间段碱基自关联性的一个所指标（Beran 1994）。因此 Hurst Index生动的就是近似无效用的自关联性。这就是为什么当我们却说 Hurst Index时，它的单纯是无效用碱基而非生产并成本碱基。

R/S 分析作依此的必需如下。

R/S 分析作依此第一步：转换并成数据数据资料为短度为 M 的股票市场生产并成本（比如收盘价）碱基。将它先取近似、做传递数组，变并成短度为 N = M - 1 的近似传递数组碱基：

这样就把转换并成的生产并成本碱基转化为了近似无效用碱基。

R/S 分析作依此第二步：将短度为 N 的近似无效用碱基等分成 A 个空集，每个空集的短度为 n= N / A。测算每个空集的对数，序文为 e_a, a = 1, 2, ..., A。

R/S 分析作依此第三步：在每个空集 a 内，再行测算当年 k 个点（k = 1, 2, ..., n) 相对来却说该空集对数 e_a 的累加离差：

这里的关键点是累加离差是相对来却说于该空集对数而言的，即这里有个去对数的操作过程，因此下一步测算出的震荡区域内（range）也是去对数化后的。在 Hurst 的深入研究当中，他用作的仍要是去对数化后的离差和震荡区域内，这可以消除碱基一直21世纪对持续性相互数间关联性的制约（Hurst 1951，Feller 1951）。由于近似无效用碱基的往后构并成近似生产并成本，而近似生产并成本由 FBM 描画，因此去对数也前提了无效用碱基做到 B_H(t) 在个数短度区数间内持续性的借此为 0。如果不必同步进唯去对数处置，则近似无效用碱基显然依赖于乘积的偏移数万人（drift rate）计算项，这亦会造并成 FBM 不做到持续性零对数政治性。

Hurst Index生动的是掺入偏移数万人项在此之后的近似无效用的自关联性。

选择下面的例子。假定近似无效用碱基为：2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%，2%，-1%。它们的对数为 0.5%，因此去对数化后的碱基为：1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%，1.5%，-1.5%。看来，这两个碱基的累加离差碱基几乎各不相近（因此在下一步当中测算出的震荡区域内也各不相近）。

R/S 分析作依此第四步：测算每个空集 a 内近似无效用碱基的震荡区域内 R_a，它也就是说累加离差最大值和最小值的差值：

R/S 分析作依此第五步：测算每个空集 a 内近似无效用碱基的平均数 S_a。

R/S 分析作依此第六步：对每个空集 a 内，用作其平均数 S_a 对其震荡区域内 R_a 同步进唯通用，给予重标很差 R_a/S_a。从第二步开始，对于选先取的短度 n，我们一共有 A 个空集，因此有 A 个重标很差。先取它们的对数作为该许多现代近似生产并成本碱基在短度为 n 的时数间段跨度上的重标很差，序文为 (R/S)_n：

R/S 分析作依此第七步：增大 n 的个数，并重复当年六步，给予各不相近短度 n 的时数间段跨度上近似生产并成本碱基的重标很差 (R/S)_n。

R/S 分析作依此第八步：根据 Hurst Index H 的表述，我们想到它是描画 (R/S)_n 和 n1]H 的仍要比数间的关系，即：

因此，对 n 和 (R/S)_n 同步进唯双近似复出，即用作 log(n) 对 log((R/S)_n) 同步进唯线或性复出。复出方程的截距就是上头数间的关系当中的计算 C，而斜数万人就是 Hurst Index H。

Log((R/S)_n) 和 log(n) 相互数间的差值（斜数万人）就是 Hurst Index H。我们来进去这条跨越各不相近 log(n)——相近的是测算无效用的各不相近振幅——的直线或没错意味着什么。

在化简 Hurst Index H 的操作过程当中，随着时数间段跨度 n 的增加，我们逐步实地来得极低振幅的近似无效用的累加发生变化。许多现代生产并成本数据数据资料的粒度最终了我们在分析作依此当中包括的最高者振幅（因为 n 的个数最小为 1），而 Hurst Index描画的是以这个最高者振幅为上界的全振幅*各地区的无效用碱基的关联性。

* 却说全振幅不太不得而知。大量国外外正确性所指出，当时数间段跨度 logn 太大在此之后，Hurst Index H 生动的序文忆性开始受控，即如果我们把 log((R/S)_n) 和 logn 画出散点图，那么当 logn 远大于某个值，即振幅也就是说某个值的时候，log((R/S)_n) 和 logn 的差值开始受控（比如表来自用作 R/S 依此分析作依此上证Index从 2005 年起日无效用的 Hurst Index，log((R/S)_n) 和 logn 的差值当 n 远大于 244 个港股——大约 1 年——后受控）。因此，Hurst Index生动的便是分析作依此的最高者振幅到差值受控相近的最极低振幅相互数间所有振幅的关联性。在这段振幅区数间内，无论我们看哪个振幅的无效用，其自关联性都由一个共同的 H 生动。

来看几个例子。假定我们转换并成的数据数据资料为 5 日无效用（即谐波振幅是 5 个港股），而 log(R/S) 和 logn 的散点图却说明所指出当 n = 250 个港股差值时受控（差不多 1 年），这意味着我们选择的振幅区域内便是 5 日无效用一直到 1 年的无效用。假定 H = 0.6，这意味着在这个振幅各地区，无论我们实地 5 日无效用的自关联性，还是年初无效用的自关联性，亦或是年无效用的自关联性，它们都由 H = 0.6 来生动。

而当我们将转换并成数据数据资料的振幅减少到 1 日无效用数据数据资料亦会怎么样呢？我们的分析作依此区域内由在此之当年的 5 日到 1 年扩大到 1 日到 1 年。因此，在这种但会测算出来的 H 计算则生动这个来得大振幅各地区无效用的自相似之处。看来，它涵盖了在此之当年的 5 日到 1 年这个振幅区数间。那是否意味着这个一新 H 计算也就是说在此之当年的 0.6 呢？答案是断言的。由于一新分析作依此当中用到了来得高频的数据数据资料（1 个港股），而来得高的振幅相关联着来得多的随机天气系统（所以高频无效用相互数间的关联性来得极低），因此这个描画从 1 日到 1 年频域的一新 H 亦会比在此之当年那个描画从 5 日到 1 年频域的 H 的个数极低一些。Peters (1994) 在美股上的大量正确性令其人难忘的属实了这一点。

5 Hurst Index和 FBM 对投资额实践的涵义 通过当年面的详述，我们并未想到：

Hurst Index生动的是掺入偏移项在此之后的近似无效用在全振幅上的自相数间的关分量。

在文章的开篇，我提出批评国外分析投资额界过度夸大了这种自关联性在紧密结合可盈利的投资额意图时的作用。这主要揭示在以下两个方面：

它从单纯上误解的表述了“21世纪”； 它往往夸大了 FBM 持续性相互数间的仍要关联性在紧密结合投资额意图时的作用。 下面我就来分别详述这都只。

首先来看“误解的表述了21世纪”这点。在一大的描画公司股票的随机操作过程变种当中，标准规范庞加莱和点数庞加莱都是假定该随机操作过程是不必一直偏移数万人项的，即投资额品生产并成本经过个数时数间段跨度 T 的发生变化在此之后，其借此生产并成本一直也就是说它的初始生产并成本。这看来和现实几乎符合。因此，来得简便描画公司股票的托马斯或点数庞加莱一定是含有亦然一直21世纪的偏移数万人项的。

美股的标普 500 Index或者期货工业Index在百年历程当中看出稳健上唯的更慢头暴涨幅（除几次严重股票市场市场外），是因为它们的无效用有一个仍要的（虽然很小）的偏移数万人；必将 A 股在 2007 年和 2015 年的两波头市狂欢节当中之所以能碰巧唯，是因为无效用有仍要的且相对来却说于震荡数万人来却说很大的偏移数万人。无效用当中的仍要偏移数万人才是21世纪，才是都能被意图为了让来有钱的。

表是为了让时数间段碱基当中生动短期自关联性的 ARMA 模型（来自《写给你的金融业时数间段碱基：应用篇》）分析作依此上证Index无效用时，给予的偏移数万人随时数间段的发生变化。可见在 2015 年上半年大头市的时候偏移数万人尤其是在远大于 0；在 2015 年下半年大假死的时候，偏移数万人尤其是在也就是说 0。在这个尤其是在的偏移数万人面当年，生动自关联性的 ARMA 分量对无效用的制约尤其大。虽然这是一个从短期自关联性角度实地的例子，但它的论据对于 Hurst Index这种全振幅的一直自关联性同样适用：在真仍要亦然21世纪的偏移数万人面当年，无论短期还是一直的自关联性对于无效用的制约尤其大。

再来看一个假想的例子。假定我们有三组近似无效用碱基 {3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2%, 3%, 2% …}。从有钱的角度来却说，这个碱基有明显的21世纪（偏移数万人也就是说 2.5%），因此应当一直持有该投资额品。但如果我们对该无效用碱基去掉一直对数并测算其 Hurst Index，给予的 Hurst Index不必任何涵义（因为这个例子当中无效用碱基呈周期性发生变化，因此 Hurst Index覆盖的频域也是有周期性的，选择各不相近振幅，Hurst Index时仍要时倒数第）。如果我们不选择偏移数万人，那么我们亦会根据 Hurst Index指出当无效用碱基在特定的振幅下有倒数第相关，从而中止无效用为 2% 的那些时数间段段，这看来是误解的。

所以，真仍要能有钱的暴涨幅是无效用碱基当中亦有仍要的偏移数万人项。而这压根就不是 Hurst Index生动的单纯（它深入研究的是去偏移数万人项在此之后，无效用碱基的自关联性）。券商报告当中用作 Hurst Index择时出 A 股的头假死（偏移数万人为仍要和偏移数万人为倒数第的周期），实在是贻笑大方。

再来进去第二点，即“夸大了（去偏移数万人后）无效用相互数间仍要关联性的作用”。FBM 的持续性相互数间有关联性，那么当用作 FBM 描画股票市场近似生产并成本的时候，这里隐含的意为就是如果股票市场生产并成本在当年期暴涨了且 Hurst Index远大于 0.5，则股票市场生产并成本在后期也亦会暴涨。这个通俗的认知虽然和 FBM 的政治性不冲突，但是细想起来，反之亦然用作它紧密结合意图就有关键问题了。

假定无效用不必偏移数万人，让我们就选择它的自关联性。那么我们负责任的是 FBM 操作过程的持续性在可知过往历史记录的条件下的条件借此。如果条件借此为仍要，那么可以却说无效用的借此为仍要（当然，对于确实的无效用个数，还受到随机天气系统的制约）。但是，由于 Hurst Index描画的是全振幅上的相似之处，FBM 持续性的条件借此在数学上极其简便于（Fink et.al. 2013）。这在投资额当中的揭示是，一个投资额品在上一个港股的无效用显然是仍要的，而它在当年一周的无效用却是倒数第的。Hurst Index却说明所指出各不相近振幅的无效用在人口统计上做到同栖息于，且有相近的关联性。那么这一仍要一倒数第的各不相近振幅的无效用的确实个数对未来无效用的制约没错是多少呢？看来，我们不必看了日无效用为仍要就却说下一个港股的无效用为仍要；而看了周无效用为倒数第就却说下一周的无效用为倒数第。这就是 Hurst Index作为全振幅上的政治性在对未来同步进唯据信时带来的简便于之处。所以，如果我们仅以 Hurst Index远大于 0.5 就却说“在此之当年暴涨了，在此之后还亦会暴涨”，这无疑误解阐释了 Hurst Index的本意。

以上就是对上头两个关键问题的论证。

那么，Hurst Index生动的短序文忆性在投资额当中没错意味着什么呢？我指出它可以从三方面阐释：

1. 震荡数万人聚类

Mandelbrot (1963) 在深入研究投资额品生产并成本时观测到震荡数万人聚类。它的意为是生产并成本的大幅发生变化往往相关联着大幅发生变化（发生变化的字母都有显然），而生产并成本的小幅发生变化往往相关联着小幅发生变化。从数学上生动就意味着无效用的等于有不亚于的短序文忆性，它的自关联性发散的更慢。Taqqu (1975) 的深入研究也断言了 FBM 的持续性（无效用）的等于的 Hurst Index远大于 0.5，即有短序文忆性。Oh et. al. (2008) 深入研究了澳大利亚、德国、加拿大等八国主要股所指无效用的等于并属实，这些时数间段碱基的 Hurst Index尤其是在高于 0.5。表为 2001 年到 2017 年上证Index日无效用的平均数，从当中可以清晰的看到震荡数万人聚类。

从效用控制的角度启航，用作 Hurst Index深入研究无效用的等于（即震荡数万人）的自关联性，比用作它来深入研究无效用的自关联性来得有着确实涵义。

2. 无效用的十度肥尾栖息于

投资额品无效用并不做到仍要态栖息于，而是展现出十度肥尾的特点。这是零售商上的一致。在数学上，这种栖息于可以用作 Levy 栖息于描画，而描画该分部时用到两个重要的参数 α（描画十度肥尾性）和 β（描画偏度）。（注：这里虽然用到了字母 α 和 β，但它们和我们常却说的 α 和 β 无效用无关。）

当一个概率分布的尾部栖息于做到幂律发散时，即 prob(X>x) ~ O(x1]-α) 且 α < 2，该概率分布的栖息于揭示出肥尾。可以断言，α 和 Hurst Index H 有如下数间的关系：α = 1/H。对于有短序文忆性的无效用，因为其 H> 0.5，所以 α = 1/H < 2，因此我们在无效用栖息于上观测到十度肥尾特性。

3. 对对冲心理的制约

投资额品生产并成本的走势都是被无数对冲交易出来的。从一定往往上却说，短序文忆性是对冲唯为在投资额品无效用上刻下的烙印。而今“一朝被咬伤十年怕井绳”，那么一次大的股票市场市场看来很来得易让对冲变并成惊弓之鸟，对大跌的恐惧和效用厌恶看来不是一朝一夕可以忘掉的。这种制约将亦会是深远的，揭示在啊对冲的唯为上，再催生了无效用上的短序文忆性。

以上再是 Hurst Index和 FBM 对于投资额实践的涵义。

6 结语 在深入研究分析投资额之初，我从国外的深入近期当中接触到了 Hurst Index（可见它的流唯度）。自己尝试后辨认出视觉效果并不好（众所周知样本外）。那时我就在想是自己没用对，还是经过这些深入近期“加工过”的二手数据资料对 Hurst Index的认知应是。于是追踪溯源我认真学习了Hurst Index和 FBM 的许多现代数据资料，得出的论据是二手数据资料对 Hurst Index的认知应是。终于，如今有机亦会把我自己对 Hurst Index和 FBM 的认知写从前，是为了对自己在此之当年学习的回顾；是为了让希望真仍要认知它们的人少走些弯路；是为了责难那种轻轻就来却说“Hurst Index＞0.5 就有21世纪能有钱”的不倒数第责任的看依此。

Hurst Index的用作和错用关键在于对能有钱的“21世纪”的仍要确认知。对于什么是“21世纪”，很多种作依此都能自圆其却说，并无所谓谁对谁错。如果我们想为了让“21世纪”有钱，那么能赚到钱的表述21世纪的作依此就是好作依此；如果我们是想通过有条理的理论来深入研究无效用的关联性，那么一个符合无效用特性的数学模型就是好作依此。Hurst Index和 FBM 的提出批评看来是为了后者。Hurst Index生动的是去掉偏移数万人在此之后，无效用在频域的自关联性，因此以它来判断零售商的生产并成本21世纪（无效用当中的偏移数万人项）是不合适的。这差不多我们用目标 a 的模型去搞目标 b，这是唯不通的。

制约投资额品生产并成本的状况一大。站在深入研究的角度，我们仅能做不合理的标准化，并推选一些特点。当我们却说明深入研究的目标后，再可以对这些特点数学数学模型以再来得好的认知。但是，无论怎么数学模型，描画的都意味着是很小的一部分特点，是我们深入研究当中针对的那一部分的非常简单抽象概念。如果指出这就是零售商真理（并误解的阐释它），无异于刻舟求剑。

参见文献

Feller, W. (1951). The Asymptotic Distribution of the Range of Sums of Independent Random Variables. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 22, 427 – 432. Hurst, H. E. (1951). Long-term storage capacity of reservoirs. Transactions of the American Society of Civil Engineers, Vol. 116, 770 – 799. Beran, J. (1994). Statistics for Long-Memory Processes. Chapman Wild Hall. Fink, H., Kluppelberg, C., and Zahle, M. (2013). Conditional distributions of processes related to fractional Brownian motion. Journal of Applied Probability, Vol. 50(1), 166 – 183. Kamenshchikov, S. (2014). Transport Catastrophe Analysis as an Alternative to a Monofractal Description: Theory and Application to Financial Crisis Time Series. Journal of Chaos, Vol. 2014. Mandelbrot, B. B. (1963). The Variation of Certain Speculative Prices. The Journal of Business, Vol. 36(4), 394 – 419. Mandelbrot, B. B. and Van Ness, J. W. (1968). Fractional Brownian Motions, Fractional Noises and Applications. SIAM Review, Vol. 10(4), 422 – 437. Oh, G., Kim, S., and Eom, C. (2008). Long-term memory and volatility clustering in high-frequency price changes. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Vol. 387(5-6), 1247 – 1254. Peters E. E. (1994). Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment and Economics. John Wiley Wild Sons, Inc. Taqqu, M. S. (1975). Weak Convergence to Fractional Brownian Motion and to the Rosenblatt Process, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, Vol. 31, 287 – 302.。

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